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Questo lavoro è originato da una tesi di laurea in Matematica preparata sotto la direzione del Prof. Andrea Bacciotti e del Prof. Paolo Boieri del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Torino ed è rivolto ad insegnanti e studenti delle scuole medie superiori. L’obiettivo è di presentare le idee di base della teoria dei sistemi, argomento a cavallo tra la Matematica e l’Ingegneria, da un punto di vista elementare facendo riferimento a modelli già noti allo studente (ad esempio l’oscillatore armonico visto in Fisica) reinterpretandoli, dopo avere introdotto i concetti teorici di base, in chiave sistemistica.

Il software Matlab è stato utilizzato soprattutto per le sue caratteristiche di programma interattivo, che hanno permesso la creazione di schede, collegate in modo da costituire un vero e proprio ‘ipertesto’, facilmente utilizzabili dall’utente, senza che siano richieste conoscenze informatiche particolari. Questo ‘libro’ è suddiviso in due capitoli principali: il primo dedicato all’interpretazione dei grafici delle funzioni ed il secondo alla teoria dei sistemi e del controllo.

Questo capitolo ha l’obiettivo di fornire le basi per l’interpretazione del comportamento dei sistemi che verranno successivamente presi in esame. E’ necessario analizzare i grafici delle funzioni trigonometriche del tipo , delle funzioni esponenziali del tipo e delle loro combinazioni: tali funzioni rappresentano, infatti, le possibili soluzioni di un’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti, che costituiscono il modello matematico dei sistemi presi in esame. L’intento è quello di familiarizzare lo studente con i grafici focalizzando l’attenzione sulla relazione tra parametri e grafico che si rivela determinante nello studio del comportamento dei sistemi; i parametri si possono far variare sia per mezzo di slider che di caselle di edit. Ogni scheda è accompagnata da un questionario che permette allo studente di verificare le sue osservazioni.

• Moto armonico: in questa scheda si possono osservare contemporaneamente un punto che si muove di moto armonico ed il grafico della relativa legge oraria, cambiando i parametri quali l’ampiezza, la velocità e la fase del moto per mezzo di caselle di edit.

Nella prima scheda si ottengono i grafici di funzioni del tipo facendo variare i parametri per mezzo di slider: in questo modo lo studente si crea un’ idea generale della relazione tra i parametri ed il grafico della funzione; nella seconda scheda è possibile assegnare un qualsiasi valore ai parametri tramite delle caselle di edit, si possono individuare gli zeri ed i massimi e minimi delle funzioni tracciate.

• Somma di funzioni trigonometriche

Nella prima scheda si possono visualizzare contemporaneamente i grafici di due funzioni del tipo e la loro somma: facendo variare opportunamente i parametri, per mezzo degli slider, lo studente può congetturare alcune proprietà della funzione somma, come, ad esempio, che non è sempre periodica, che il periodo dipende dalle funzioni generatrici e così via. Queste osservazioni potranno essere verificate in modo più dettagliato nella seconda scheda, in cui si possono inserire dati più precisi tramite caselle di edit, si può misurare ‘manualmente’ il periodo della somma e si possono valutare i massimi e i minimi assoluti delle funzioni in gioco.

Lo scopo di queste schede è:

• mostrare i cambiamenti a cui è soggetto il grafico della funzione esponenziale quando:

• mostrare il grafico della funzione

• mostrare il grafico della somma di due funzioni del tipo e al variare dei parametri

In tutte le schede è possibile utilizzare sia slider che caselle di edit.

In queste schede si vuole mostrare l’andamento di funzioni che sono combinazioni di esponenziali e sinusoidi al variare dei parametri in gioco; queste funzioni sono tutte le possibili soluzioni di una generica equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti, che costituisce il modello matematico dei sistemi aperti del secondo ordine.

Nella parte dedicata alla teoria dei sistemi l ’ obiettivo principale è mostrare allo studente come tutte le sue conoscenze scientifiche nell’ambito matematico, fisico, biologico possono essere reinterpretate in chiave sistemistica come relazione tra un sistema, il cui funzionamento interno può essere noto o meno, i parametri del sistema ed il relativo comportamento esterno. In questo contesto la possibilità di creare animazioni e di interagire direttamente con il programma gioca un ruolo fondamentale sotto il profilo didattico: l’apprendimento è più divertente e coinvolgente; permette la visualizzazione contemporanea del sistema reale in movimento e del grafico della relativa risposta. Il sistema può essere visto come una ‘scatola nera’: lo studente, osservando le relazioni tra input e output, deve individuare il tipo di sistema e la legge generale che governa il suo comportamento e congetturare la struttura ed il funzionamento esterno; oppure lo studente conosce le componenti e le variabili del sistema e deve individuare le relazioni che intercorrono tra i parametri del sistema ed il suo comportamento.

I due differenti tipi di controllo, a circuito aperto e a circuito chiuso, sono stati realizzati utilizzando caselle di edit e slider rispettivamente: le prime consentono l’inserimento dei dati relativi ai parametri del sistema ed alla funzione di ingresso senza la possibilità di influire direttamente sul comportamento del sistema una volta iniziata la simulazione, gli slider, invece, sono concepiti come elementi di controllo in quanto permettono di cambiare in ogni momento i vari parametri in gioco.

Stato di un sistema

Per introdurre la nozione di stato di un sistema è stato utilizzato l’esempio di due sistemi discreti composti da due e tre lampadine rispettivamente: viene richiesto di individuare e rappresentare il numero di stati e di traiettorie possibili. Si può simulare il comportamento del sistema, nel caso un cui ogni stato sia sfruttato una sola volta, scegliendo preventivamente la traiettoria: sullo schermo appariranno i grafici in funzione del tempo delle variabili delle due lampadine

• Sistemi biologici

Sono stati analizzati i modelli della dinamica delle popolazioni di Malthus e Verhulst: l’ambiente è rappresentato da una casa, che nel modello di Verhulst può cambiare dimensioni a seconda del valore del parametro che rappresenta la capacità dell’ambiente; la velocità con cui la popolazione aumenta o diminuisce nell’animazione dipende dall’intervallo temporale che intercorre tra la nascita o la morte di un individuo ed il successivo.

• Sistemi fisici

Sono stati analizzati sistemi fisici i cui modelli matematici sono equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del primo e del secondo ordine ed equazioni a variabili separabili; i sistemi del secondo ordine presi in esame sono l’oscillatore armonico, il pendolo semplice e i circuiti RLC; in seguito sono stati messi a confronto a due a due allo scopo di individuare le analogie tra i loro comportamenti.

In questa parte è stato preso in esame un oscillatore armonico soggetto ad una sollecitazione esterna del tipo : lo scopo è analizzare la relazione tra i parametri della funzione di ingresso, i parametri del sistema e la funzione di uscita: assegnato il sistema ed una funzione uscita, lo studente dovrà essere in grado di scegliere opportunamente i parametri dell’ input per ottenere il comportamento richiesto.