Analisi e Ottimizzazione di un Modello Dinamico della Coagulazione

Analisi e Ottimizzazione di un Modello Dinamico della Coagulazione

L. Giglio, A. Zanobini*

*Dipartimento di Ingegneria Elettronica, Via Santa Marta 3, 50139 FIRENZE

Tel.055-4796392, Fax. 055-494569, Email. willis@ingfi1.ing.unifi.it

Abstract

Nell'ambito di un lavoro in cui è stata fatta una panoramica sui principali tipi di impianti di chiarificazione delle acque ed una descrizione dei processi chimico-fisici coinvolti in un impianto convenzionale, è stata svolta una dettagliata analisi dei vari aspetti della coagulazione (destabilizzazione e flocculazione) delle particelle sospese nell'acqua grezza in ingresso all'impianto.

Sono stati esaminati i fenomeni della sedimentazione e del filtraggio sia per avere un'idea più chiara dell'intero processo di chiarificazione, ma anche perché questi due aspetti del trattamento dell'acqua sono strettamente legati alle due fasi precedenti ed un'efficace destabilizzazione e flocculazione possono renderli più efficienti.

Per quanto riguarda la destabilizzazione, lo studio analitico delle equazioni di base del fenomeno, ha fornito dei risultati che sostanzialmente confermano i dati, utilizzati finora nella gestione di molti impianti, riguardanti l'intensità e la durata dell'agitazione veloce, dettati, in verità, da regole pratiche più che da una vera e propria analisi del fenomeno.

Per la costruzione del modello, si è passati quindi alla descrizione dei vari modelli matematici della flocculazione, orientati principalmente verso la descrizione della distribuzione di dimensioni delle particelle sospese.

A questo punto è stato implementato in ambiente Matlab (Simulink) il modello derivato dalle equazioni di Lawler (che fornisce la distribuzione del numero di particelle), dividendo il range di dimensioni delle particelle in 8 gruppi.

Si è passati all'ottimizzazione del processo avendo come obiettivi finali:

1. una buona qualità dell'acqua in uscita dal flocculatore, corrispondente ad una riduzione della concentrazione finale delle particelle per ciascun gruppo;

2. migliori tempi di attuazione, a tale scopo si è preferito utilizzare una flocculazione di tipo frazionato invece della flocculazione convenzionale, in cui si utilizza un unico valore del gradiente di velocità durante la fase di agitazione delle particelle.

Le simulazioni effettuate al calcolatore sembrano suggerire che questa sia la strada da seguire, in quanto hanno dato migliori risultati rispetto alla procedura standard, di cui i più evidenti sono una minore area finale del sedimentato ed una riduzione del tempo di agitazione totale, con conseguente risparmio di energia.

1. Introduzione

In questo lavoro viene preso in considerazione il processo di chiarificazione delle acque attraverso l'eliminazione delle impurità in esse sospese, tale processo avviene di solito in più fasi che possono essere così riassunte:

1. coagulazione;

2. sedimentazione;

3. filtraggio.

Un impianto convenzionale comprende i tre processi in successione secondo il seguente schema:

Il lavoro si è incentrato sulla realizzazione e la ottimizzazione di un modello matematico del primo fenomeno, quello della coagulazione, cercando di sviluppare un modello già esistente [14,15] basato sulla distribuzione di dimensione delle particelle sospese nell'acqua grezza, così come viene prelevata dai bacini di raccolta, dai fiumi o dai laghi.

2. Coagulazione: destabilizzazione e flocculazione

Il processo della coagulazione trasforma le particelle più piccole in grossi agglomerati, tali da essere più suscettibili alla sedimentazione.

L'intero processo, include la destabilizzazione e la flocculazione: il primo fenomeno porta alla modifica delle caratteristiche elettrostatiche superficiali delle particelle, mentre il secondo rappresenta la fase di trasporto delle particelle stesse e la formazione, in seguito agli urti, di aggregati di dimensioni maggiori, detti appunto fiocchi, che sedimentano rapidamente.

Dalla sperimentazione, in laboratorio e sul campo, risulta chiaro che il processo di sedimentazione (successivo a quello preso da noi in esame) ha una certa efficacia solo per sospensioni di particelle aventi un diametro superiore ai 10 mm; l'applicazione a sospensioni di particelle più fini, richiederebbe tempi di ritenzione molto lunghi ed economicamente non convenienti; E’ evidente quindi la necessità di favorire in qualche modo, prima della sedimentazione, l'aggregazione delle particelle fini, in fiocchi di dimensioni più grandi, quindi più facilmente sedimentabili.

Mediante l'aggiunta di opportuni reagenti, detti "coagulanti", si può favorire l'aggregazione e l'addensamento delle particelle, cioè la formazione dei fiocchi.

La funzione dei coagulanti sarà, quindi, quella di neutralizzare la carica delle particelle, annullando così le forze repulsive, tale effetto viene, appunto, definito: "destabilizzazione delle particelle".

I tre meccanismi di trasporto delle particelle che vengono presi in considerazione sono: il moto di diffusione browniano, il moto della massa fluida e la sedimentazione differenziale, per cui si parlerà di:

1) flocculazione browniana o pericinetica, dovuta all'energia termica del fluido;

2) gradiente di velocità o flocculazione ortocinetica, dovuta al moto della massa fluida;

3) sedimentazione differenziale, diretta conseguenza della diversa velocità delle particelle dovuta alle loro differenti dimensioni, per cui le particelle più grandi raggiungono quelle più piccole, aventi minore velocità di sedimentazione.

La frequenza dei contatti fra le particelle, e quindi, il loro tasso di crescita, dipenderà dalle proprietà dell'acqua (temperatura, viscosità, densità), dalle proprietà delle particelle (concentrazione numerica, densità, dimensione) e dalle caratteristiche costruttive e operative delle attrezzature utilizzate per il mescolamento (regime del flusso, tempo di detenzione, intensità di mescolamento).

In fase di controllo dell'impianto si potrebbero scegliere le ultime due caratteristiche come parametri di controllo, essendo le uniche sulle quali possiamo intervenire con un certo arbitrio, essendo le altre dettate dalle condizioni ambientali e dalle caratteristiche dell'acqua da trattare.

Di solito, la destabilizzazione vera e propria viene caratterizzata da un parametro a, detto coefficiente di attaccamento o efficienza di collisione, e rappresenta: "il rapporto fra il numero di collisioni che producono un effettivo attaccamento delle particelle, e il numero totale delle collisioni che hanno luogo".

Tale parametro sarà compreso fra 0 e 1, valori che rappresentano le due situazioni limite di una sospensione, dal punto di vista della destabilizzazione delle particelle: il primo corrisponde ad una sospensione praticamente non trattata chimicamente, il secondo ad una, invece, perfettamente destabilizzata, con particelle praticamente tutte neutre elettricamente.

L'operazione di agitazione viene sperimentalmente caratterizzata attraverso il "numero di Camp":

dove t tempo di agitazione e G è il Gradiente di velocità, introdotto da Camp e Stein e definito dalla:

con P potenza totale utilizzata per agitare il fluido, V volume del fluido mescolato, m viscosità dinamica. Inoltre mediante la seguente relazione:

è possibile legare il gradiente G alla velocità di rotazione del miscelatore N, espressa in numero di rotazioni al minuto (rpm); nella relazione precedente si è indicato con T la coppia applicata, con V il volume del liquido e con g l’accelerazione di gravità.

Nel grafico seguente possiamo vedere la curva di calibrazione del Log G in funzione del Log N, ricavata in precedenti lavori, e che può essere utilizzata direttamente per trovare la corrispondenza fra la velocità di rotazione e il valore di G:

3. Cinetica della flocculazione in campi turbolenti

Se consideriamo la collisione fra due particelle di diametro d1 e d2, la percentuale di collisione N(d1,d2) è espressa dalla:

dove k = costante di percentuale di collisione ed n(d1), n(d2) sono le concentrazioni delle particelle rispettivamente di diametro d1 e d2. Questa funzione rappresenta il numero di collisioni per unità di tempo e di volume e in letteratura viene anche definita "frequenza di contatto".

Essenzialmente possiamo distinguere tre meccanismi di trasporto delle particelle ognuno dei quali si differenzia per il valore della costante K.

Pertanto avremo:

flocculazione ortocinetica:

Espressione di Smoluchowski valida nell'ipotesi di moto laminare del fluido, in cui .

flocculazione browniana o pericinetica:

Tutte le particelle colloidali sono caratterizzate da un moto casuale su piccola scala; questo moto browniano è di tipo diffusionale ed è funzione dell'energia termica del fluido (K* T): con K costante di Boltzman (1.38 10-16 erg/K), T temperatura assoluta (misurata in gradi Kelvin) e m la viscosità assoluta.

Questo meccanismo influisce essenzialmente sulle particelle di dimensioni più piccole, con diametro inferiore ad 1 m m; in pratica, l'energia cinetica delle molecole d'acqua viene trasmessa a tali particelle durante le continue collisioni causate dell'agitazione termica. Occorre notare che con il procedere della flocculazione il numero delle particelle diminuisce e questo di solito accade quando i fiocchi raggiungono una dimensione di alcuni mm; in tali condizioni, perciò, le particelle saranno più distanti e il solo moto browniano non sarà sufficiente per provocare le collisioni, il contributo di tale termine con il passare del tempo si fa quindi, meno significativo;

sedimentazione differenziale:

dove rp e rl sono rispettivamente la densità delle particelle e del fluido, tale parametro si riferisce al processo di collisione delle particelle dovuto alle differenti velocità di sedimentazione, originate dalle non identiche dimensioni, in accordo con la teoria di Camp e Stein: abbiamo cioè che una particella più grossa, e quindi più veloce, va a colpire una più piccola che, invece, sedimenta più lentamente. Il valore di è tanto maggiore quanto maggiore è la densità delle particelle o più ampia è la differenze di dimensioni, mentre si annulla quando le particelle hanno pressappoco la stessa dimensione, e quindi uguale velocità di sedimentazione e non c'è moto relativo fra esse.

In generale, maggiore enfasi è stata data allo studio della flocculazione ortocinetica, che rappresenta, sicuramente, il fenomeno predominante e più significativo ed anche l'unico sul quale possiamo intervenire direttamente variando sia l'intensità che la durata dell'agitazione. In questa ottica si assume che le collisioni avvengano per effetto di questo unico meccanismo di trasporto.

Anche se un po' empiricamente, Camp e Stein hanno proposto la seguente sostituzione:

essa fornisce apprezzabili risultati, e al tempo stesso ci consente di utilizzare una relazione più semplice per la percentuale di collisione, espressa dalla:

4. Sedimentazione

E' il processo per mezzo del quale i corpi solidi sospesi nel liquido, ed aventi peso specifico superiore a quello del liquido stesso, tendono a depositarsi, con moto più o meno veloce sul fondo del recipiente.

Il primo tentativo di dare un fondamento scientifico e una formulazione matematica al fenomeno si deve a Stokes (1945), che ricavò per la velocità di caduta di una particella in un fluido, la seguente equazione:

Si vede che v0 è direttamente proporzionale alla densità r p e alla dimensione della particella e inversamente proporzionale alla viscosità assoluta m del fluido.

Tale legge è strettamente valida nelle seguenti ipotesi:

la particella è di forma sferica;

il moto di una particella non è influenzato da quello delle altre particelle vicine;

il fluido è in quiete;

la temperatura è costante nel tempo e uniforme in ogni punto della vasca.

4.1 Modello di Smoluchowski

Il modello di partenza è stato sviluppato da Smoluchowski, nei primi anni di questo secolo (1917), in seguito diversi studiosi hanno adattato il modello originario alle nuove ipotesi ricavate grazie anche all'utilizzo di strumentazioni più sofisticate e dei moderni elaboratori; il modello originario è in forma discreta, per cui abbiamo un sistema di c equazioni del tipo:

dove rappresenta la costante di percentuale di collisione tra le particelle i e j.

tale relazione esprime la dinamica della concentrazione della particella k, attraverso il bilancio fra la formazione e la scomparsa di tali particelle; a secondo membro abbiamo infatti: un primo termine, rappresentante il tasso di formazione in seguito alla collisione fra le particelle i e j, ed un secondo termine che tiene conto del fatto che, contemporaneamente alla comparsa di una particella k, un'altra, formatasi in precedenza, potrebbe aggregarsi con altre particelle per dare luogo a prodotti di dimensione maggiore di k, tale termine è quindi il tasso di scomparsa delle particelle k.

La costante c, estremo superiore della seconda sommatoria, rappresenta il massimo valore valido per i, j e k nel modello, ed è il numero di dimensioni discrete delle particelle che si stanno considerando.

4.2 Modello di Lawler

Sostanzialmente questo modello è molto simile a quello di Smoluchowski, in questo caso il sistema di equazioni nella sua forma generale è il seguente:

Rispetto al modello originario, oltre alla presenza dei parametri a e della velocità di caduta della particella k espressa dalla legge di Stokes nel paragrafo 4, per una migliore caratterizzazione della collisione fra le particelle, abbiamo altri due termini a secondo membro, inseriti per modellare la parziale sedimentazione delle particelle all’interno del flocculatore. L'introduzione di tali termini è giustificata dal fatto che il modello originario di Smoluchowski tendeva a sovrastimare la concentrazione finale delle particelle, mentre ipotizzando che esse possano sedimentare verso il fondo si spera di compensare tale errore.

Come per il modello originario vengono considerate solo le particelle comprese nel range di dimensioni (d1,dc).

Accade però che la collisione fra due particelle quali, per esempio la 3 e la 6 o la 4 e la 5, porta alla formazione di una nuova particella più grande dell'ultima considerata dal modello.

Queste particelle, che escono dal range di dimensioni, non vengono più considerate nei bilanci successivi. Questa mancanza del modello non è poi così grave se si tiene conto del fatto che di tali particelle solo alcune, in realtà, potrebbero essere ancora coinvolte nelle collisioni poiché la maggior parte hanno una dimensione tale da sedimentare abbastanza velocemente. Inoltre, tale modello non vuole coprire tutto il range di dimensioni possibili, ma solo l'intervallo comprendente quelle particelle più difficilmente sedimentabili; non bisogna dimenticare che scopo della flocculazione è proprio quello di ridurre il numero totale di particelle più fini. A noi non interessa conoscere cosa accade al di fuori dell'intervallo considerato, ma ci è sufficiente sapere che le particelle sono scomparse andando a formare fiocchi di dimensioni maggiori.

La realizzazione pratica del modello è stata effettuata mediante il pacchetto software Simulink implementando il sistema di equazioni differenziali sviluppato da Lawler (per lo schema si faccia riferimento all'appendice A).

Come ingresso al sistema abbiamo il gradiente medio di velocità G, però possiamo variare a piacere anche la dimensione delle particelle e la concentrazione iniziale di ciascuna di esse (variando in pratica le condizioni iniziali delle equazioni differenziali); in uscita abbiamo la concentrazione delle quattro particelle alla fine della flocculazione.

L'ingresso G è implementato attraverso una funzione a gradino avente il seguente andamento:

Figura 2. Andamento di G nella flocculazione frazionata

dove tR è il tempo di mescolamento rapido, tL = tF - tR sarà il tempo di agitazione lenta, mentre tF rappresenta la durata della flocculazione; mediante tale modello si ha quindi la possibilità di simulare anche la flocculazione frazionata, cioè considerando due successivi periodi di tempo, non necessariamente di eguale durata, in cui utilizzare due differenti intensità di agitazione. A questo proposito è stato fatto il confronto tra i risultati di una simulazione con flocculazione unica e con flocculazione frazionata.

5. Determinazione delle condizioni iniziali

Per motivi di semplicità strutturale del modello, si è dovuto considerare un numero abbastanza limitato di dimensioni discrete delle particelle. Per avere dei risultati che meglio rappresentassero il range di dimensioni effettivamente coinvolto nella flocculazione si è pensato di utilizzare il seguente metodo nella determinazione delle dimensioni delle particelle e delle rispettive concentrazioni iniziali.

Dato l'andamento della concentrazione iniziale, riportato nella seguente figura:

il range di dimensione di partenza è stato campionato, con intervallo logaritmico, in modo da ottenere 64 canali discreti; questi canali sono stati riuniti in gruppi di 8, calcolando per ciascun gruppo la media delle concentrazioni, tale media è stata poi attribuita alla quarta particella di ciascun gruppo.

Tale procedimento è schematicamente rappresentato nella seguente figura, relativamente ai primi 16 canali:

Figura 4. Schema di raggruppamento dei campioni

Tale algoritmo è stato implementato in un programma che prevede, nel caso i dati di partenza siano meno di 64, l'interpolazione di tali dati per la determinazione dei canali intermedi.

6. Ottimizzazione del processo di flocculazione

Dal momento che è stata scelta la flocculazione frazionata, in cui sono previste due successive fasi di agitazione, il problema dell'ottimizzazione è stato ricondotto alla scelta delle costanti Gr, Tr, Gl e Tl.

Allo scopo di definire un funzionale di costo da ottimizzare, è stato necessario trovare un parametro di valutazione del processo. Poichè lo scopo della flocculazione mira alla riduzione del numero di particelle aventi piccole dimensioni si è pensato di utilizzare l'area sottesa dalla curva, che rappresenta la concentrazione dei vari gruppi alla fine della simulazione, all'interno del range di dimensioni considerato.

La scelta di un funzionale di costo unicamente basato sulla minimizzazione di tale area, se da un punto di vista teorico rappresenta una scelta senz'altro valida non lo è da un punto di vista strettamente economico.

Infatti se da un lato aumentando Tr e Tl si ottiene una diminuzione di tale area, corrispondente ad una riduzione del numero totale di particelle per cm3, ciò porta ad un aumento del numero di Camp, definito dal prodotto del gradiente di velocità per il tempo di agitazione, e quindi ad un aumento dell'energia spesa per agitare la sospensione.

Si è pensato allora di inserire nel funzionale di costo il numero di Camp stesso, calcolato sia durante l'agitazione veloce sia in quella lenta. Data la necessità di contenere i tempi di gestione dell'impianto, per evidenti motivi pratici, si è pensato di introdurre nel funzionale di costo anche i due tempi di agitazione Tr e Tl. L'espressione finale del funzionale sarà la seguente:

in cui i vari fattori sono stati normalizzati, per riportarli allo stesso ordine di grandezza.

Per quanto riguarda l'implementazione dell'algoritmo di ottimizzazione è stata utilizzata la funzione Matlab "constr", che presenta il vantaggio di poter imporre un range di variazione per ciascun parametro e ci dà inoltre la possibilità di definire particolari vincoli sui parametri stessi.

Si è impostato l'algoritmo di ottimizzazione, imponendo un' AREAfinale minore di quella ricavata dalla simulazione con un unico valore di Gl e Tl; nello stesso tempo si è imposto che il numero di Camp complessivo, espresso dalla somma dei due valori legati all'agitazione veloce e lenta, fosse minore del corrispondente valore calcolato per la flocculazione singola.

A tale scopo sono stati introdotti altri due vincoli, oltre a quelli sul range di variazione dei vari Gr, Tr, Gl e Tl, questa volta direttamente all'interno della function per il calcolo del funzionale di costo; tali vincoli sono espressi dalle seguenti disuguaglianze e corrispondono alle considerazioni dette prima sul raffronto con i dati della simulazione:

1. AREAfinale < AREA0

dove per AREA0 si considera l'area ricavata dal grafico delle concentrazioni finali ottenute mediante la flocculazione semplice;

2. Cfraz < 3.5* 105

in cui Cfraz è il numero di Camp relativo alla flocculazione frazionaria ed è espresso dalla Cfraz = Gr*Tr+Gl*Tl, mentre il secondo valore è in realtà superiore al corrispondente Csper, relativo alla flocculazione singola il quale, per i valori considerati di Gl=25 e Tl=12000, vale 3.0* 105, questo per lasciare eventualmente un più ampio margine di variazione all'algoritmo di ottimizzazione.

In questa tabella sono riportati i vincoli imposti sui parametri di ingresso e i risultati finali del procedimento di iterazione:

Parametro	Valore di partenza	Range imposto (VINCOLI)	Valore ottimale
Gr	200	70¸ 600	70.28
Tr	700	60¸ 2400	68.533
Gl	45	10¸ 60	42.398
Tl	6000	1800¸ 8000	7953.264

Tabella 1. Intervalli di variazione dei parametri e risultati dell'ottimizzazione

Si ricordi che Gr e Gl sono espressi in sec-1, mentre Tr e Tl sono in sec; per tali valori si ottiene una cifra complessiva di merito:

COST=3.42* 105

Facendo quindi il raffronto con i dati già citati, ne ricaviamo la seguente tabella:

Tipo di dati	Parametri di ingresso	Area finale 106	Numero di Camp 105	Tr 102	Tl 103	COST
Flocculazione semplice	Gr=0 Tr=0 Gl=25 Tl=12000	2.246	3.0	0	12.0	17.045
Flocculazione ottimizzata	Gr=70.28 Tr=68.533 Gl=42.398 Tl=7953.264	2.183	3.42	0.685	7.953	14.241

Tabella 2. Confronto fra i risultati dell'ottimizzazione e i dati sperimentali

Esaminiamo il grafico delle due concentrazioni di uscita, sullo stesso grafico sono anche rappresentate, con i pallini, le condizioni iniziali:

A causa della somiglianza fra i dati nelle due simulazioni sarà difficile distinguere le due curve.

Gli effetti della flocculazione sulla riduzione della concentrazione finale delle particelle, risultano più evidenti se si fa riferimento al grafico della distribuzione volumetrica:

si assiste ad una riduzione del volume complessivo delle particelle per ciascun gruppo, e in particolare tale riduzione è più marcata per i primi gruppi cioè per quelli che rappresentano le particelle di dimensioni minori.

Questo risultato è confortante, in pratica rappresenta quanto ci eravamo prefissi in fase di impostazione del problema: le particelle per le quali si verifica una maggiore riduzione della concentrazione finale sono proprio quelle più difficilmente sedimentabili, ed una loro efficace rimozione, prima delle successive fasi di sedimentazione e filtraggio, non può che migliorare la performance dell'intero impianto di chiarificazione.

Per quanto riguarda il numero di Camp, ottenuto utilizzando i valori di Gr, Tr, Gl e Tl ricavati nell'ottimizzazione, esso risulta più grande di quello relativo alla flocculazione semplice; possiamo fare però due considerazioni che ci consentono di accettare comunque i risultati ottenuti: si tratta di un aumento limitato ed inoltre tale aumento corrisponde ad una riduzione del tempo totale di realizzazione della flocculazione.

Del resto, come è stato già accennato all'inizio dopo aver scelto questi valori come dati di confronto, essi rappresentano un ottimo risultato sia per quanto riguarda la qualità dell'acqua sia in rapporto al valore del numero di Camp, e quindi in rapporto all'intensità e alla durata dell'agitazione; era dunque ipotizzabile che un nettissimo miglioramento, rispetto a tali dati, fosse difficile da ottenere.

7. Conclusioni

Il miglioramento ottenuto rispetto alla procedura con un solo valore di Gl e Tl consiste in una minore area finale del sedimentato ed in una riduzione del 33.84% del tempo di agitazione totale, con conseguente risparmio di energia.

APPENDICE A

Schema Simulab principale

Vediamo in dettaglio ciascun blocco:

APPENDICE B

Riportiamo qui di seguito i listati delle due funzioni matlab inseriti nei due blocchi per il calcolo della crescita e della scomparsa di una particella:

function y =growth8(u)
% ordine degli ingressi
% growth8(B0,B1,B2,G,part(1:8),n(1:8),k)
B0_part=u(1:12); n=u(13:20);
k=u(21); par(3:14)=[B0_part];
sum=0;
for i=1:8,
for j=1:8,
if(i+j)==k
par(1:2)=[i j];
sum=sum+beta8(par)*n(i)*n(j);
end
end
end
y=sum/2;
end

per la seconda funzione abbiamo:

function y = break8(u)
% ordine degli ingressi
% break8(B0,B1,B2,G,part(1:8),n(1:8),k,gamma)
% accelerazione di gravità in cm/(sec^2)
g=981;
% viscosità dinamica alla temperatura di 25 gradi centigradi, in g/(cm*sec)
mu=1e-2;
% densità rispettivamente delle particelle e dell'acqua le due densità
% sono espresse in in g/(cm^3)
rop=2.4;
rol=0.997;
B0_part=u(1:12); n=u(13:20); k=u(21); gamma=u(22); zeta=10;
B3=(gamma*pi*g/zeta)*((rop-rol)/(18*mu))*1e-8;
par(1)=k; par(3:14)=[B0_part];
sum=0;
for i=1:8,
par(2)=i;
sum=sum+n(i)*beta8(par);
end
y=n(k)*sum-B3*n(k)*B0_part(k+4)^2;
end

E' riportato inoltre il listato della funzione beta(i,j) per il calcolo delle funzioni di efficienza di collisione:

function y = beta8(u)
% ordine degli ingressi
% beta8(k1,k2,B0,B1,B2,G,part(1:8))
k1=u(1); k2=u(2);
B_0=u(3); B_1=u(4); B_2=u(5);
G=u(6); p1=u(k1+6); p2=u(k2+6);
bet(1)=B_1*(1/p1+1/p2)*(p1+p2);
bet(2)=B_0*G*(p1+p2)^3;
bet(3)=B_2*(p1+p2)^3*abs(p1-p2);
y=bet(1)+bet(2)+bet(3);
end

BIBLIOGRAFIA:

[1] Amirtharajah, A., Trusler, S.L., "Destabilization of Particles by Turbulent Mixing", J. Envir. Engrg. Division, ASCE, Vol. 112, No. 6, Dic., 1986, pp. 1085-1108.

[2] Averill, D.W., Eastwood, G.T., Murphy, K.L., et altri "Analisys and Modelling of particle size distribution in flocculant suspensions", Water Supply, Vol. 9, 1991, pp. S103-S108.

[3] Awwa Coagulation Commitee, "Commitee Report: Coagulation as an Integrated Water Treatement Process", Journal AWWA, Oct., 1989, pp. 72-78.

[4 ] Bianucci, G., "Il trattamento delle acque inquinate", U. HOEPLI, 1982.

[5] Boadwaay, J.D., "Dinamics of Growth and Breakage of Alum Floc in Presence of Fluid Shear", J. Envir. Engrg. Division, ASCE, Vol. 104, No. EE5, Oct., 1978, pp. 901-915.

[6] Clark, M.M., "Critique of Camp and Stein's RMS Velocity Gradient", J. Envir. Engrg. Division, ASCE, Vol. 111, No. 6, 1985, pp. 741-754.

[7] Clark, R.M., "Cost Estimating for Convenctional Water Trattement", J. Envir. Engrg. Division, ASCE, Vol. 108, No. EE5, Oct., 1982, pp. 819-834.

[8] Cleasby, J.L., "Is Velocity Gradient a Valid Turbulent Flocculation Parameter?", J. Envir. Engrg. Division, ASCE, Vol. 110, No. 5, Oct., 1984, pp. 875-897.

[9] De Dianous, F., Dernaucourt, J.C., "Advantages of Weighted flocculation in water treatement", Water Supply, Vol. 9, 1991, pp. S43-S46.

[10] Gilbert, R.O., "Statistical Methods for Environmental Pollution Monitoring", Van Nostrand Reinhold Company, New York, 1987.

[11] Ginn, T.M., Amirtharajah, A., Karr, P.R., "Effects of Particle Detachment in Granular-Media Filtration", Journal AWWA, Feb., 1992, pp. 66-76.

[12] Jaffe, P., R., Paniconi C., Wood, F., E., "Model Calibration Based on Random Environmental Fluctuations", J. Envir. Engrg. Division, ASCE, Vol. 114, No. 5, Oct., 1988, pp. 1136-1145.

[13] Laria, R., "L'acqua e il suo Corretto Trattamento", PEG. Editrice, Milano, 1982, quaderno No. 10.

[14] Lawler, D.F., Izurieta, E., Kao, C.P., "Changes in Particle Size Distributions in Batch Flocculation", Journal AWWA, 75:11:604, Dec., 1983, pp. 604-612

[15] Lawler, D.F., Wilkes, D.R., "Flocculation Model Testing: Particles Sizes in Softening Plant", Journal AWWA, 76:7:90, 1984, pp. 90-97.

[16] Marsili Libelli, S., "Modelli Matematici per l'Ecologia", Pitagora Editrice, Bologna, 1989.

[17] Mc Connachie, G.L., "Turbulence Intensity of Mixing in Relation to Flocculation", J. Envir. Engrg. Division, ASCE, Vol. 117, No. 6, Nov./Dec., 1991, pp. 731-750.

[18] Ramely, R.L., Lawler, D.F., Wright, W.C., O'Melia, C.R., "Integral analysis of Water Plant Performance", J. Envir. Engrg. Division, ASCE, Vol. 105, No. 3, Jun., 1981, pp. 547-568.

[19] Vigneswaran, S., Manandhar, U.K., Janssens, J.G., Ben Aim, R., "Mathematical Modelling of the effect of size distribution of suspended particles in deep-bed filtration-experimental testing", Water Supply, Vol. 9, 1991, pp. S85-S93.

[20] Villegas, R:A., Letterman, A.M. "Optimizing Flocculator Power Input", J. Envir. Engrg. Division, ASCE, Vol. 102, No. EE2, Apr., 1976, pp. 251-263.

[21] Wiesner, M.R., O'Melia, C.R., Cohen, J.L., "Optimal Water Treatement Plant Design", J. Envir. Engrg. Division, ASCE, Vol. 103, No. 3, Jun., 1987, pp. 567-584.

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