y₁=²(a₁₁m₁y₁+a₁₂m₂y₂+....+a_1nm_ny_n)
y_i=²(a_i1m₁y₁+a_i2m₂y₂+....+a_inm_ny_n)
.............................................................
y_n=²(a_n1m₁y₁+a_n2m₂y₂+....+a_nnm_ny_n)

posto a_ijmj = a_ij e dividendo per ² si ottiene:

Ossia, indicando con I la matrice identità:

Il sistema omogeneo sopra riportato può avere una soluzione diversa dalla banale y₁=y₂=....=0 solo se:

La determinazione delle velocità critiche si riduce allora al calcolo degli autovalori della matrice quadrata A. Si può dimostrare che gli n autovalori sono tutti reali e positivi. Ad ognuno di questi corrisponde una ennupla di valori y_i (autovettore), non tutti nulli, definiti a meno di un coefficiente di proporzionalità, cioè corrisponde una certa forma della linea elastica dell’albero, avente fra gli appoggi un numero di nodi pari all’ordine della velocità critica corrispondente meno uno. Per la prima velocità critica w1 , la linea elastica non ha alcun punto di flesso (nodo), per la seconda ha un nodo intermedio e così via... Osserviamo infine che una linea elastica qualsiasi può sempre considerarsi come combinazione lineare delle n linee elastiche (autovettori) corrispondenti alle n velocità critiche. Procedimento di calcolo Come già visto la determinazione delle velocità critiche e la individuazione della forma della linea elastica si riduce al calcolo degli autovalori (e degli autovettori associati) della matrice A con elemento generico a_ij pari a_ijmj. Poiché le masse m_j sono note, non rimane che determinare i coefficienti di influenza a_ij. Ogni trave può essere schematizzata in n tronchi ad ognuno dei quali è associata una matrice di rigidezza K_i.

Figura 1

La matrice K permette di stabilire una relazione tra sollecitazioni e deformazioni. Sempre con riferimento al tronco elementare rappresentato in precedenza, si ha:

Quando siamo in presenza di più tronchi la matrice di rigidezza globale si ottiene sommando opportunamente le matrici di rigidezza elementari, ossia tenendo presente, ad esempio, che il nodo sinistro (destro) di un tronco coincide con il nodo destro (sinistro) del tronco adiacente.

La [1] stabilisce una relazione del tutto generale tra deformazioni e sollecitazioni senza tener conto però dei vincoli. La matrice di rigidezza del sistema (matrice di rigidezza depurata) corrisponde alla matrice globale generale K nella quale si siano eliminate le righe e le colonne corrispondenti alle deformazioni la cui entità è imposta dalla natura dei vincoli e non dalla rigidezza del sistema e dai carichi esterni. L’inversa della matrice di rigidezza depurata corrisponde alla matrice i cui elementi sono i coefficienti di influenza da inserire nella matrice A.

Schematizzazione del calcolo
Il procedimento di calcolo può essere allora così schematizzato:

1. si divide la trave in n tronchi elementari, e per ogni tronco si scrive la matrice di rigidezza elementare;
2. si assembla la matrice di rigidezza globale;
3. si determina, tramite l’eliminazione di righe e colonne corrispondenti a deformazioni imposte dai vincoli, la matrice di rigidezza depurata;
4. si costruisce l’inversa della matrice di rigidezza depurata;
5. si moltiplica la matrice di cui al punto precedente per la matrice diagonale avente sulla diagonale principale le masse rotanti applicate. Si ottiene in tal modo la matrice A;
6. si determinano gli autovalori (l) e gli autovettori di A;
7. le velocità critiche si ottengono dalla seguente relazione:

L’applicazione sviluppata consente di automatizzare tutte le operazioni di manipolazione delle matrici definite in precedenza determinando direttamente le velocità critiche nonchè gli autovettori associati.