Esistono d'altro canto molti fenomeni in natura per i quali risulta oltremodo complesso, se non impossibile, fornire una adeguata descrizione analitica. Spesso di tali processi si hanno a disposizione esclusivamente dati sperimentali raccolti generalmente in tabelle o sotto forma di grafici. Una soluzione largamente adottata per la simulazione di tali processi in ambienti quali il SIMULINK è il ricorso a "look up table" ovvero interpolazione su tabella: cioè ad oggetti che, specificata la relazione ingresso-uscita per determinati valori degli ingressi, calcolino per interpolazione (generalmente lineare) le uscite in corrispondenza di differenti valori degli ingressi. Questa soluzione però è non sempre perseguibile. Un esempio in cui tale tecnica risulta poco efficace è fornita dai thruster ad idrazina.

I thruster ad idrazina sono impiegati come attuatori nei sistemi di controllo ed assetto di veicoli spaziali (sono stati impiegati nelle missioni METEOSAT, INTELSAT, GIOTTO solo per citarne alcune). Come accennato precedentemente il loro comportamento è estremamente poco regolare e non descrivibile tramite equazioni dinamiche, d'altra parte il progetto dei sofisticati controllori di assetto dei veicoli spaziali [2] richiede che anche tali attuatori vengano correttamente inglobati nell'ambiente di simulazione. L'approccio look-up table (per l'esattezza 2D look-up table stante la dipendenza sia dal tempo di accensione dei thruster che dalla pressione interna alla camera di combustione) è da scartare in quanto esso è basato sull'estrapolazione dei risultati dei firing test eseguiti con tempi di accensione fissi; mentre per l'oggetto thruster all'interno del simulatore il periodo di accensione è una variabile ignota ed in ultima analisi legato anche al comportamento del thruster stesso.

L'unica soluzione adottabile è quella di costruire una "black box" in grado di riprodurre abbastanza fedelmente il legame causa effetto evidenziato dai firing test. Inoltre tale blocco dev'essere allo stesso tempo in grado di fornire un legame ingresso-uscita che rispecchi il comportamento dei thrusters anche in presenza di tempi di accensione minori o maggiori di quello dei dati sperimentali e dovrà essere parametrizzato rispetto al valore della pressione all'interno della camera di scoppio.

Generalmente i sistemi che esibiscono oscillazioni nella risposta al gradino sono modellati come sistemi del secondo ordine. Questa modellistica non è applicabile dato che un sistema del secondo ordine presenterebbe anche nella fase di spegnimento fenomeni ondulatori, cosa irrealistica per i thruster (vedi fig.1).

Le caratteristiche peculiari delle risposte di fig.1 suggeriscono di modellare il fenomeno tramite due distinte curve, una per la fase di accensione l'altra per la fase di spegnimento. Questo approccio è stato proposto da Kollien e Weiss [4]. Nel loro articolo il comportamento di un thruster di 2 N è approssimano tramite due distinte funzioni esponenziali. Tale soluzione non risulta più valida, però, in presenza di thruster di maggiore potenza quali quelli di 20 N. Infatti in quest'ultimo caso l'approccio [4] approssima in pratica esclusivamente il valore medio della risposta. Sebbene questa approssimazione sia soddisfacente da un punto di vista energetico, una analisi spettrale dei thruster a 20 N mostra che le oscillazioni presenti comportano notevoli variazioni nel contenuto armonico del segnale e pertanto non possono essere trascurate. Nel seguito è presentata una modellistica basata su tecnica PRM con opportuni filtraggi. Ulteriori dettagli sulla modellistica impiegata possono essere reperiti in [5].

• FASE 1: un rapido fronte di salita all'atto dell'accensione.
  
• FASE 2: un periodo di "mantenimento" caratterizzato da oscillazioni attorno ad un valor medio crescente nel tempo.
  
• FASE 3: un fronte di discesa meno ripido di quello di accensione.

Una possibile soluzione per superare tale inconveniente è quello di sostituire il filtro lineare presente nello schema di fig.2 con un filtro lineare tempo variante del tipo

L'incremento del valor medio della risposta può essere agevolmente riprodotto utilizzando un segnale di riferimento per lo schema di fig. 2 che presenti un'opportuna inclinazione. In particolare, essendo il valor medio della risposta dei thruster ben approssimabile come somma di una funzione costante e di un esponenziale, si può assumere per r(t) la seguente struttura

Mediante una opportuna scelta dei parametri Us , E e dei coefficienti del filtro di eqn. (1) e della pendenza del segnale di ingresso è possibile completare la modellizzazione della seconda fase.

Successivamente si può passare alla modellizzazione delle fasi 1 e 3 avendo l'accortenza di preservare la risposta durante la fase 2 precedentemente determinata. In altri termini è fondamentale modellare tali due ulteriori fasi tramite "blocchi funzionali" la cui uscita sia nulla durante la fase 2. Per semplicità nel seguito trascureremo la dipendenza dal tempo del filtro di eqn. (1). Tale ipotesi non è restrittiva essendo il nostro interesse focalizzato sul comportamento del sistema nelle fasi 1 e 3, ove è predominante la risposta dovuta ai blocchi aggiuntivi. Inoltre supporremo il segnale r(t) a gradino.

Un modo per ridurre il tempo di salita durante la fase 1 è quello di aumentare il segnale u(t) (segnale di ingresso al filtro, vedi fig. 2) durante tale fase. Questo può essere ottenuto inserendo in parallelo al modulatore bi-livello un ulteriore modulatore bi-livello la cui banda di transizione sia sfasata di una quantità D rispetto allo zero.

Analogamente il tempo di discesa può essere incrementato riducendo il segnale u(t) durante la fase 3. Ciò può essere ottenuto aggiungendo un dispositivo non lineare che sottragga ad u(t) un prefissata quantità L non appena e(t) (il segnale di errore, vedi fig. 2) diviene inferiore ad una quantità (negativa) S.

Lo schema che se ne ottiene è rappresentato in fig. 4, dove il blocco contraddistinto con il numero 2 serve a diminuire il tempo di salita durante la fase 1, mentre il blocco 3 consente di aumentare il tempo di discesa durante la fase 3.

In fig. 5 è riportato il segnale di errore e(t) quando il sistema è sollecitato da un segnale a gradino r(t). Da un'attenta analisi della figura si evince che: a) il blocco 2 opera esclusivamente durante la fase 1, quando porta il valore del segnale u(t) da E ad E+H; b)il blocco 3 opera esclusivamente durante la fase 3 modificando la pendenza del segnale u(t). La pendenza iniziale è imposta dal valore -L, fintanto che e(t) non raggiunge il valore di soglia -S. Da questo momento in poi il sistema evolve in evoluzione libera. Infine un filtro LTI del primo ordine è utilizzato per smussare la risposta del sistema. Un'ultima considerazione merita il fenomeno del ritardo finito presentato dai firing test, che può facilmente essere incluso nel modello ritardando opportunamente il segnale di controllo r(t). Lo schema complessivo è riportato in fig.6. L'implementazione SIMULINK di tale schema è immediata.

Riducendo la banda di tolleranza si incrementa anche la frequenza delle oscillazioni. Per evitare questo effetto la variabile E deve essere decrementata con la stessa legge, cioè

Ovviamente una analoga legge di variazione deve essere assunta per il valore di uscita del blocco 3 di fig. 6, e più precisamente assumeremo

Inoltre anche il filtro tempo variante descritto dall'eqn. (1) deve ridurre il tempo di assestamento.
Più precisamente il filtro dovrà avere una struttura del tipo

Infine bisogna inglobare nel modello la dipendenza dalla pressione nella camera di combustione. Da studi condotti si è verificato che tale dipendenza può essere assunta di tipo quadratico. Lo schema complessivo è riportato in fig.7. In questo caso l'implementazione in SIMULINK non è così immediata come nel caso dello schema di fig. 6, e ciò è dovuto principalmente all'impossibilità di utilizzare il blocco Relay di SIMULINK. Lo schema SIMULINK del sistema complessivo è presentato in fig.8.

Mentre per quel che concerne i modulatori bi-livello la dipendenza della banda di tolleranza dalla pressione è descrivibile tramite

ed il valore di uscita tramite

Il valore di soglia del blocco 3 ha invece il seguente legame con la pressione

e coerentemente con la eq. (5) il relativo valore di uscita è pari a

e si è assunto D=1, S=-2, L=-1. Riguardo ai parametri che modellano il segnale di riferimento r(t) in eq. (2), i valori numeri utilizzati sono i seguenti

Infine il filtro lineare a valle dello schema ha la seguente struttura non più descrivibile in termini di funzione di trasferiemnto , bensì mediante un sistema lineare parametrico

dove

In fig.9 sono riportati i risultati ottenuti per differenti valori di pressione. Come si può notare dal confronto con i dati sperimentali di fig.1 tali curve approssimano in maniera sufficientemente accurata il comportamento dei thruster.