Simulazione dinamica in ambiente SIMULINK del robot parallelo a 6 g.d.l. “Turin Platform”

Massimo Sorli - Luigi Costa
Politecnico di Torino - Dipartimento di Meccanica
Parte 1^


  • Abstract
    Il lavoro tratta la simulazione dinamica di un robot ad architettura parallela a 6 g.d.l. denominato “Turin Platform”, sviluppato e costruito presso il Dipartimento di Meccanica del Politecnico di Torino, nell’ambito del Progetto Finalizzato Robotica del CNR. E' presentata la struttura del robot e ne vengono descritte le relazioni cinematiche e dinamiche. E’ quindi definita la struttura del modello SIMULINK e sono analizzati i differenti blocchi che lo costituiscono. Infine sono presentati alcuni risultati delle simulazioni numeriche, confrontati con corrispondenti rilievi sperimentali.


  • Introduzione
    L’utilizzo di architetture parallele a 6 g.d.l. è molto ampio e può essere previsto sia per applicazioni industriali che per compiti differenti. Storicamente queste strutture sono servite per realizzare movimentazioni nello spazio, principalmente nei simulatori di volo. Negli impieghi di tipo industriale sono state previste come stazioni di lavoro per assemblaggio robotizzato o come dispositivi di micromovimentazione locale, in alcuni casi montate su un braccio di robot. Un’architettura parallela può servire anche per applicazioni differenti, quali la movimentazione di un joystick per un telecomando a più gradi di libertà, eventualmente sensitivo al disturbo di forza, per applicazioni mediche, per esempio quale supporto del paziente in indagini radiografiche o nella definizione della configurazione di un sensore di forza e coppia a sei assi di misura.

    La ricerca svolta ha portato alla realizzazione di un prototipo del robot parallelo a sei gradi di libertà in grado di sopportare un pezzo che deve subire una lavorazione meccanica. L’applicazione prevista preliminarmente è un’operazione di sbavatura robotizzata. Essa può essere svolta nell’ambito di una cella robotizzata costituita da un robot seriale e dal robot parallelo in questione, avendo il primo il compito di realizzare la lavorazione con il suo organo effettore dotato dell’utensile di taglio, mentre il secondo ha il compito di sopportare il pezzo in lavorazione. Le prestazioni del robot parallelo devono prevedere una elevata rigidezza e una sufficiente dinamica, in quanto esso deve sottrarsi rapidamente, con forti accelerazioni, a forze di fresatura che non siano congrue con il tracciato previsto e prefissato, e possano, quindi, danneggiare il pezzo. Le caratteristiche progettuali del robot sono state presentate in [1] e [2]. Il modello cinematico e dinamico del robot è stato sviluppato in [3] e [4]; nella pubblicazione [5] sono evidenziate le prestazioni dinamiche ricavate tramite prove sperimentali sul prototipo.
    Lo studio dello spazio di lavoro e della destrezza del robot è stato condotto in [6] e [7], mentre in [8] è effettuata un’analisi dell’influenza delle dimensioni della struttura del robot sullo spazio di lavoro. La trattazione seguente riguarda la definizione e l’analisi dei risultati del simulatore dinamico realizzato in ambiente SIMULINK del modello del robot parallelo.

    Figura 1: il robot parallelo


  • Struttura del robot parallelo
    La struttura del robot parallelo, visibile nella fotografia della fig. 1, è costituita da una piattaforma, su cui si alloggia il pezzo in lavorazione, che viene mossa nello spazio di lavoro. La movimentazione della piattaforma è realizzata tramite tre meccanismi piani, ognuno dei quali porta all’estremità superiore una guida prismatica, con asse di movimento perpendicolare al rispettivo piano del meccanismo. Alla parte mobile delle tre guide prismatiche, per mezzo di tre giunti sferici, è collegata la piattaforma. Ogni meccanismo articolato è costituito da due doppi parallelogrammi. Una vista schematica è riportata in fig. 2. Si può notare che i motoriduttori, del tipo brushless, sono disposti sulla base del robot e movimentano i due assi di ingresso di ogni meccanismo. Questa particolare soluzione permette una significativa riduzione delle masse in movimento e un conseguente miglioramento delle prestazioni dinamiche del sistema.

    Figura 2: uno dei tre meccanismi di movimentazione

    Cinematica diretta e inversa
    Nella Figura 3 è riportata una rappresentazione schematica della piattaforma individuata dai centri sferici
    P1, P2, P3 e dei versori che individuano i sistemi di riferimento usati ijk formano la terna inerziale, quella solidale della piattaforma, servono per ricavare le relazioni tra riferimento solidale e fisso.
    La posizione della piattaforma è individuata dalle coordinate del suo baricentro xc, yc e zc; il suo orientamento è definito dalle relazioni che legano a ijk attraverso gli angoli (inclinazione rispetto all'orizzontale, rotazione intorno a ), (rotazione intorno a v) e (rotazione intorno a k). Si può introdurre la matrice di rotazione A che lega il riferimento mobile a quello fisso:

    [FORMULA]
    essendo:
    [FIGURA]

    Quando la piattaforma è orizzontale (= 90°) si ha un punto singolare: k e v coincidono e non è quindi, possibile separare la somma di e . Le sei coordinate generalizzate possono essere raccolte nel vettore
    p=[xcyczc ].

    Figura 3

    La posizione della piattaforma è univocamente determinata anche dagli angoli (con i=1, 2, 3 rispettivamente per i tre meccanismi) formati dalle manovelle dei parallelogrammi articolati solidali agli alberi dei motori (fig.2). Si può così definire il vettore delle coordinate interne del manipolatore

    [FIGURA]

    Indicando con ,z1; u,z2; v,z3 le tre coppie di coordinate che individuano la posizione dei tre centri sfera nel piano individuato dal relativo meccanismo, essendo R la lunghezza delle manovelle e B la distanza verticale fra ogni centro sfera e la traversa superiore del corrispondente meccanismo, si possono ricavare le relazioni della cinematica diretta ed inversa, come indicato nelle tabelle 1 e 2.

    Tabella 1

    dove:

    [FIGURA]

    Tabella 2

    dove:

    [FIGURA]

    Dinamica
    Le equazioni dinamiche del robot parallelo sono state ricavate supponendo trascurabili gli effetti inerziali dei leveraggi dei meccanismi e tutti gli attriti. Sono stati considerati, invece, gli effetti inerziali della piattaforma, le forze e i momenti applicati su di essa e le inerzie dei sei motori. Si consideri l'equilibrio della piattaforma nel sistema di riferimento fisso:

    [FIGURA]

    dove:
    N e T sono forze e momenti esterni, F ed M sono le forze applicate dai giunti sferici e i loro momenti rispetto al baricentro dell'insieme piattaforma più carico utile. Avendo ipotizzato gli attriti trascurabili, la forza scambiata è sempre giacente nel piano perpendicolare all'asse del giunto prismatico passante per il centro della sfera.
    Fi e Mi sono i vettori delle inerzie:

    [FIGURA]

    essendo m ed I rispettivamente la massa della piattaforma e del carico utile e il tensore di inerzia i cui termini sono funzioni dell'orientamento della piattaforma, [FIGURA]

    La velocità angolare della piattaforma vale:

    [FIGURA]

    Le 6 equazioni di equilibrio dinamico possono essere riscritte in modo compatto usando una formulazione vettoriale:

    [FIGURA]

    essendo:
    [FIGURA]

    la risultante generalizzata delle azioni nelle sfere ed Fs il vettore contenente le 6 componenti delle forze scambiate negli stessi giunti: [FIGURA]

    L'equilibrio dei tre meccanismi articolati di posizionamento permette di legare Fs al vettore C che raggruppa le coppie dei sei motori. Per semplicità si trascurano tutte le inerzie. Si può così scrivere:
    [FIGURA]

    dove [P(q)] è una matrice 6x6 definita in base alla geometria dei meccanismi. La soluzione della dinamica inversa richiede di ricavare C in funzione della legge del moto della piattaforma. La soluzione formale del problema è:

    [FIGURA]

    Il flusso logico delle operazioni è rappresentato nel seguente diagramma:

    [FIGURA]